Trigonometria Esempi

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

Passaggio 1.2

Espandi $(2 x - 1) (4 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $4 x$ da $6 x$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $36$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $36$ da $- 3$ .

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 8$ , $b = 2$ e $c = - 39$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ .

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Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $- 39$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.1.3

Somma $4$ e $1248$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $1252$ come $2^{2} \cdot 313$ .

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Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $1252$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ vera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Forma decimale:

$x = 2.08647575 \dots$