Trigonometria Esempi

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia

u = csc (x)

$u = \csc (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di

csc (x)

$\csc (x)$ con

u

$u$ .

u^{2} - u - 2 = 0

$u^{2} - u - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi

u^{2} - u - 2

$u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

- 2

$- 2$ e la cui somma è

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

csc (x)

$\csc (x)$ .

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ uguale a

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma

2

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

csc (x) = 2

$\csc (x) = 2$

Passaggio 3.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

x

$x$ dalla cosecante.

x = arccsc (2)

$x = arccsc (2)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Il valore esatto di

arccsc (2)

$arccsc (2)$ è

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.4

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Per scrivere

π

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

π

$π$ e

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Sposta

6

$6$ alla sinistra di

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 3.2.5.3.2

Sottrai

π

$π$ da

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di

csc (x)

$\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci

b

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione

$\csc (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4

Imposta

$\csc (x) + 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

$\csc (x) + 1$ uguale a

$0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

$\csc (x) + 1 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

$x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di

$arccsc (- 1)$ è

$- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai

$2 π$ da

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di

$\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di

$2 π$ e coterminale con

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di

$\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Somma

$2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Somma

$2 π$ a

$- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 4.2.7.2

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.3.1

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.7.4.2

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione

$\csc (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero

$n$