Trigonometria Esempi

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $\cot^{4} (x)$ come ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = \cot^{2} (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cot^{2} (x)$ con $u$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} - 4 u + 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cot^{2} (x) - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\cot^{2} (x) - 3$ uguale a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cot^{2} (x) = 3$

Passaggio 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 3.2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 3.2.5

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Il valore esatto di $arccot (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5.4

Semplifica $π + \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Passaggio 3.2.5.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Passaggio 3.2.5.4.3.2

Somma $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 3.2.5.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.5.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.5.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Passaggio 3.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Il valore esatto di $arccot (- \sqrt{3})$ è $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Passaggio 3.2.6.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.4.1

Somma $2 π$ a $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Passaggio 3.2.6.4.2

L'angolo risultante di $\frac{11 π}{6}$ è positivo e coterminale con $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 3.2.6.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.6.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.6.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.8

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Combina $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{7 π}{6} + π n$ in $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.8.2

Combina $\frac{5 π}{6} + π n$ e $\frac{11 π}{6} + π n$ in $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\cot^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\cot^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cot^{2} (x) = 1$

Passaggio 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Passaggio 4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cot (x) = 1$

Passaggio 4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cot (x) = - 1$

Passaggio 4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cot (x) = 1, - 1$

Passaggio 4.2.5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Passaggio 4.2.6

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (1)$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Il valore esatto di $arccot (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.4

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 4.2.6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 4.2.6.4.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 4.2.6.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.6.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.6.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.7

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (- 1)$

Passaggio 4.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.2.1

Il valore esatto di $arccot (- 1)$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1

Somma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 4.2.7.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{4}$ è positivo e coterminale con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 4.2.7.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.7.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.7.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$