Trigonometria Esempi

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $6 \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.2

Sottrai $9 \sin (x) \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $3 \sin^{2} (x)$ con $3 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Riordina il polinomio.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1

Semplifica $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

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Passaggio 5.1.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1.1.1

Sposta $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.1.1.2

Riordina $- 3 \cos^{2} (x)$ e $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.1.1.4

Scomponi $3$ da $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Aggiungi le parentesi.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6.4

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.4.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Passaggio 6.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 \sin (x) - 2$ .

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Passaggio 6.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Passaggio 6.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Passaggio 6.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 8

Imposta $3 \sin (x) + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $3 \sin (x) + 2$ uguale a $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $3 \sin (x) + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin (x) = - 2$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (x) = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (x) = - 2$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 8.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 8.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Passaggio 8.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.4.1

Calcola $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

Passaggio 8.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Passaggio 8.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 8.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

Passaggio 8.2.6.2

L'angolo risultante di $3.8713203$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

Passaggio 8.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 8.2.8.1

Somma $2 π$ a $- 0.72972765$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.72972765 + 2 π$

Passaggio 8.2.8.2

Sottrai $0.72972765$ da $2 π$ .

$5.55345765$

Passaggio 8.2.8.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 5.55345765$

Passaggio 8.2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Imposta $3 \cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $3 \cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.2.2

Dividi $3$ per $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.3

Frazioni separate.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.6

Frazioni separate.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 9.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 9.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Passaggio 9.2.10

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 3$

Passaggio 9.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 3$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 9.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 9.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 9.2.11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.11.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Passaggio 9.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (3)$

Passaggio 9.2.13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.13.1

Calcola $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Passaggio 9.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Passaggio 9.2.15

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.15.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Passaggio 9.2.15.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Passaggio 9.2.15.3

Somma $3.14159265$ e $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Passaggio 9.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 9.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 9.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 9.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 9.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 9.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ vera.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Combina $1.24904577 + π n$ e $4.39063842 + π n$ in $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , per qualsiasi intero $n$