Trigonometria Esempi

$\frac{2}{z - 1} - \frac{2}{3} = \frac{4}{z + 1}$

Passaggio 1

Somma $\frac{2}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{z - 1} = \frac{4}{z + 1} + \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$z - 1, z + 1, 3$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 3$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 2.6

Il fattore di $z - 1$ è $z - 1$ stesso.

$(z - 1) = z - 1$

$(z - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $z + 1$ è $z + 1$ stesso.

$(z + 1) = z + 1$

$(z + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $z - 1, z + 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(z - 1) (z + 1)$

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$3 (z - 1) (z + 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $3 (z - 1) (z + 1)$ ciascun termine in $\frac{2}{z - 1} = \frac{4}{z + 1} + \frac{2}{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{z - 1} = \frac{4}{z + 1} + \frac{2}{3}$ per $3 (z - 1) (z + 1)$ .

$\frac{2}{z - 1} (3 (z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{2}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3 \frac{2}{z - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

$3$ e $\frac{2}{z - 1}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $z - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$6 (z + 1) = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 z + 6 \cdot 1 = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 z + 6 = \frac{4}{z + 1} (3 (z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 z + 6 = 3 \frac{4}{z + 1} ((z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $3 \frac{4}{z + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

$3$ e $\frac{4}{z + 1}$ .

$6 z + 6 = \frac{3 \cdot 4}{z + 1} ((z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$6 z + 6 = \frac{12}{z + 1} ((z - 1) (z + 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $z + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Scomponi $z + 1$ da $(z - 1) (z + 1)$ .

$6 z + 6 = \frac{12}{z + 1} ((z + 1) (z - 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$6 z + 6 = \frac{12}{z + 1} ((z + 1) (z - 1)) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$6 z + 6 = 12 (z - 1) + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 z + 6 = 12 z + 12 \cdot - 1 + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + \frac{2}{3} (3 (z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.6.1

Scomponi $3$ da $3 (z - 1) (z + 1)$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + \frac{2}{3} (3 ((z - 1) (z + 1)))$

Passaggio 3.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + \frac{2}{3} (3 ((z - 1) (z + 1)))$

Passaggio 3.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.7

Espandi $(z - 1) (z + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z (z + 1) - 1 (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + z \cdot 1 - 1 (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + z \cdot 1 - 1 z - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.1.8

Combina i termini opposti in $z \cdot z + z \cdot 1 - 1 z - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.8.1

Riordina i fattori nei termini di $z \cdot 1$ e $- 1 z$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + 1 z - 1 z - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.1.8.2

Sottrai $1 z$ da $1 z$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z + 0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.1.8.3

Somma $z \cdot z$ e $0$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z \cdot z - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.9.1

Moltiplica $z$ per $z$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z^{2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.1.9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 (z^{2} - 1)$

Passaggio 3.3.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 z^{2} + 2 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 z + 6 = 12 z - 12 + 2 z^{2} - 2$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $2$ da $- 12$ .

$6 z + 6 = 12 z + 2 z^{2} - 14$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $z$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$12 z + 2 z^{2} - 14 = 6 z + 6$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $z$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $6 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 z + 2 z^{2} - 14 - 6 z = 6$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $6 z$ da $12 z$ .

$6 z + 2 z^{2} - 14 = 6$

Passaggio 4.3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 z + 2 z^{2} - 14 - 6 = 0$

Passaggio 4.4

Sottrai $6$ da $- 14$ .

$6 z + 2 z^{2} - 20 = 0$

Passaggio 4.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $6 z + 2 z^{2} - 20$ .

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Passaggio 4.5.1.1

Scomponi $2$ da $6 z$ .

$2 (3 z) + 2 z^{2} - 20 = 0$

Passaggio 4.5.1.2

Scomponi $2$ da $2 z^{2}$ .

$2 (3 z) + 2 (z^{2}) - 20 = 0$

Passaggio 4.5.1.3

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$2 (3 z) + 2 z^{2} + 2 \cdot - 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.4

Scomponi $2$ da $2 (3 z) + 2 z^{2}$ .

$2 (3 z + z^{2}) + 2 \cdot - 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.5

Scomponi $2$ da $2 (3 z + z^{2}) + 2 \cdot - 10$ .

$2 (3 z + z^{2} - 10) = 0$

Passaggio 4.5.2

Sia $u = z$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ con $u$ .

$2 (3 u + u^{2} - 10) = 0$

Passaggio 4.5.3

Scomponi $3 u + u^{2} - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $3$ .

$- 2, 5$

Passaggio 4.5.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 ((u - 2) (u + 5)) = 0$

Passaggio 4.5.4

Scomponi.

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Passaggio 4.5.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z$ .

$2 ((z - 2) (z + 5)) = 0$

Passaggio 4.5.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (z - 2) (z + 5) = 0$

Passaggio 4.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z - 2 = 0$

$z + 5 = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $z - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $z - 2$ uguale a $0$ .

$z - 2 = 0$

Passaggio 4.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z = 2$

Passaggio 4.8

Imposta $z + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Imposta $z + 5$ uguale a $0$ .

$z + 5 = 0$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 5$

Passaggio 4.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (z - 2) (z + 5) = 0$ vera.

$z = 2, - 5$