Trigonometria Esempi

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

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Passaggio 1.1.1

Per scrivere $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ per $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ per $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.5.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = 2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = 2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = 2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$2 = 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 = 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.2.3

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.3

Espandi $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.4.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.4.1.2

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.4.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.4.1.5

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1.5.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.4.1.5.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Passaggio 3.2.1.4.1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 3.2.1.4.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 + 0 - \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.1.4.3

Somma $1$ e $0$ .

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = 2$

Passaggio 4

Poiché $2 = 2$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $x$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$