Trigonometria Esempi

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = z^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Passaggio 2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.5

Calcola l'esponente.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $16$ per $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6

Sottrai $64$ da $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $- 32$ come $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.8

Riscrivi $\sqrt{- 1 (32)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.9

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.10

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 4.1.10.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.10.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.12

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 6

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = z^{2}$ nell'equazione risolta.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 7

Risolvi la prima equazione per $z$ .

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $z$ .

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Passaggio 8.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 8.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 9

Risolvi la seconda equazione per $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 10

Risolvi l'equazione per $z$ .

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Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 10.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 10.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Passaggio 11

La soluzione di $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ è $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$