Trigonometria Esempi

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Passaggio 2

Esegui una moltiplicazione incrociata.

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Passaggio 2.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi

$\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Passaggio 2.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Passaggio 2.2.1.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Passaggio 2.2.1.5

Frazioni separate.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Passaggio 2.2.1.6

Converti da

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a

$\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Passaggio 2.2.1.7

Dividi

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ per

$1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ come

${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Espandi

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.2.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Moltiplica

$- \sin (x)$ per

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.3

Moltiplica

$\sin (x)$ per

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.5

Moltiplica

$- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1.5.1

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.5.2

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.5.3

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.1.5.4

Somma

$1$ e

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma

$- \sin (x)$ e

$\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.2.3

Somma

$1$ e

$0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.5

Semplifica.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.6

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 4.2.1.6.1

Riordina

$\cos (x)$ e

$\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.6.2

Riscrivi

$\cos (x) \tan (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Passaggio 4.2.1.6.3

Elimina i fattori comuni.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Passaggio 5

Risolvi per

$x$ .

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Passaggio 5.1

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Passaggio 5.2

Risolvi per

$x$ .

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Passaggio 5.2.2

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Passaggio 5.2.3

Risolvi

$\sin (x) = \sin (x)$ per

$x$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Perché le due funzioni siano uguali, gli argomenti di ciascuna devono essere uguali.

$x = x$

Passaggio 5.2.3.2

Sposta tutti i termini contenenti

$x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.3.2.1

Sottrai

$x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x = 0$

Passaggio 5.2.3.2.2

Sottrai

$x$ da

$x$ .

$0 = 0$

Passaggio 5.2.3.3

Poiché

$0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Tutti i numeri reali

Passaggio 5.2.4

Risolvi

$\sin (x) = - \sin (x)$ per

$x$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sposta tutti i termini contenenti

$\sin (x)$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Somma

$\sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma

$\sin (x)$ e

$\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (x) = 0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2.1.2

Dividi

$\sin (x)$ per

$1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.3.1

Dividi

$0$ per

$2$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2.4.3

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Il valore esatto di

$\arcsin (0)$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4.6

Sottrai

$0$ da

$π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.4.7

Trova il periodo di

$\sin (x)$ .

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Passaggio 5.2.4.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.4.7.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.4.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.4.7.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.4.8

Il periodo della funzione

$\sin (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero

$n$