Trigonometria Esempi

$\sin (t) + \sqrt{3} \cos (t) = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\sin (t)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3} \cos (t) = 1 - \sin (t)$

Passaggio 2

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sqrt{3} \cos (t))}^{2} = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ${(\sqrt{3} \cos (t))}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{3} \cos (t)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3^{1} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 3.2.5

Calcola l'esponente.

$3 \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ${(1 - \sin (t))}^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(1 - \sin (t))}^{2}$ come $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ .

$3 \cos^{2} (t) = (1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$

Passaggio 4.2

Espandi $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos^{2} (t) = 1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t))$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos^{2} (t) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t))$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos^{2} (t) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $- \sin (t)$ per $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $- \sin (t) (- \sin (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t)$

Passaggio 4.3.1.4.2

Moltiplica $\sin (t)$ per $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t)$

Passaggio 4.3.1.4.3

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)$

Passaggio 4.3.1.4.4

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)$

Passaggio 4.3.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}$

Passaggio 4.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t)$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $\sin (t)$ da $- \sin (t)$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$

Passaggio 5

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cos^{2} (t) - 1 = - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$

Passaggio 5.2

Somma $2 \sin (t)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cos^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) = \sin^{2} (t)$

Passaggio 5.3

Sottrai $\sin^{2} (t)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cos^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 6

Sostituisci $3 \cos^{2} (t)$ con $3 (1 - \sin^{2} (t))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + 3 (- \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 3 \sin^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 8.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$- 3 \sin^{2} (t) + 2 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $\sin^{2} (t)$ da $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$- 4 \sin^{2} (t) + 2 + 2 \sin (t) = 0$

Passaggio 9

Riordina il polinomio.

$- 4 \sin^{2} (t) + 2 \sin (t) + 2 = 0$

Passaggio 10

Sostituisci $\sin (t)$ per $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Passaggio 11

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 11.1

Scomponi $- 2$ da $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

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Passaggio 11.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Passaggio 11.1.2

Scomponi $- 2$ da $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Passaggio 11.1.3

Scomponi $- 2$ da $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 11.1.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 11.1.5

Scomponi $- 2$ da $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Passaggio 11.2

Scomponi.

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Passaggio 11.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 11.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 11.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Passaggio 11.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Passaggio 11.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 11.2.1.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 11.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 11.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 11.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Passaggio 11.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 11.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 13

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 u + 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 13.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 1$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 16

Sostituisci $u$ per $\sin (t)$ .

$\sin (t) = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 17

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $t$ .

$\sin (t) = - \frac{1}{2}$

$\sin (t) = 1$

Passaggio 18

Risolvi per $t$ in $\sin (t) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 18.1

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 18.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 18.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$t = - \frac{π}{6}$

Passaggio 18.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$t = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 18.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 18.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$t = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 18.5

Trova il periodo di $\sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 18.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 18.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 18.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 18.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 18.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 18.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 18.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 18.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 18.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 18.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$t = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 18.7

Il periodo della funzione $\sin (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 19

Risolvi per $t$ in $\sin (t) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (1)$

Passaggio 19.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Passaggio 19.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$t = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 19.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 19.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 19.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 19.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 19.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$t = \frac{π}{2}$

Passaggio 19.5

Trova il periodo di $\sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 19.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 19.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 19.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 19.6

Il periodo della funzione $\sin (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 20

Elenca tutte le soluzioni.

$t = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 21

Consolida le risposte.

$t = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 22

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\sin (t) + \sqrt{3} \cos (t) = 1$ e risolvendo.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$