Trigonometria Esempi

$\tan (67.5 °)$

Passaggio 1

Riscrivi $67.5 °$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

Passaggio 2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché la tangente è positiva nel primo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Passaggio 4.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Passaggio 4.7

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.11.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.12

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Passaggio 4.13

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Passaggio 4.14

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 4.15

Semplifica.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.16

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.17

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.17.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.17.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.18

$\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 4.19

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.19.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.19.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 4.19.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.19.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Passaggio 4.19.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Passaggio 4.19.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Passaggio 4.19.5

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} + 2$ e $2$ .

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Passaggio 4.19.5.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Passaggio 4.19.5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Passaggio 4.19.5.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Passaggio 4.19.5.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.19.5.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Passaggio 4.19.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 4.19.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Passaggio 4.19.5.4.4

Dividi $\sqrt{2} + 1$ per $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Passaggio 4.20

Somma $2$ e $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Passaggio 4.21

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$2.41421356 \dots$