Trigonometria Esempi

$(h^{2} - 16 h + 64) + (k^{2} - 12 k + 36) = 100$

Passaggio 1

Somma $64$ e $36$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 = 100$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 2.1

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100 = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $100$ da $100$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 0 = 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k$ e $0$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 16$ e $c = k^{2} - 12 k$ nella formula quadratica e risolvi per $h$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (k^{2} - 12 k))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} - 4 (- 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 12$ per $- 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} + 48 k}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Riordina i termini.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{- 4 k^{2} + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ .

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Passaggio 5.1.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 k^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Scomponi $4$ da $48 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 256}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.3

Scomponi $4$ da $256$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- k^{2}) + 4 (12 k)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 64 = - 64$ e la cui somma è $b = 12$ .

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Passaggio 5.1.6.2.1.1

Scomponi $12$ da $12 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 (k) + 64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.1.2

Riscrivi $12$ come $- 4$ più $16$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + (- 4 + 16) k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} - 4 k + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k^{2} - 4 k) + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (k (- k - 4) - 16 (- k - 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- k - 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi $4 (- k - 4) (k - 16)$ come $2^{2} ((- k - 4) (k - 16))$ .

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Passaggio 5.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$ .

$h = 8 \pm \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$h = 8 + \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

$h = 8 - \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$