Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\sin (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 \cos (x)}$ come ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $\sin^{2} (2 x)$ per $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $\sin^{2} (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 4.2

Sostituisci $\sin^{2} (2 x)$ con $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica l'identità pitagorica.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.6.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.6.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.6.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.6.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.6.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7

Imposta $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ uguale a $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.2

Moltiplica $1 - \cos^{2} (x)$ per $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.5

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.5.1

Sposta $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.7.2.5.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.5.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.7.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Passaggio 4.7.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.6

Riordina il polinomio.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.7

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Passaggio 4.7.2.8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.8.1

Scomponi $- u$ da $- u^{3} + u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.8.1.1

Scomponi $- u$ da $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Passaggio 4.7.2.8.1.2

Riscrivi $u$ come $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Passaggio 4.7.2.8.1.3

Scomponi $- u$ da $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.8.1.4

Scomponi $- u$ da $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Passaggio 4.7.2.8.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.7.2.8.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.8.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = u$ e $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 4.7.2.8.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 4.7.2.9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.10

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 4.7.2.11

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.11.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.11.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 4.7.2.12

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.12.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.12.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 4.7.2.13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ vera.

$u = 0, - 1, 1$

Passaggio 4.7.2.14

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Passaggio 4.7.2.15

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Passaggio 4.7.2.16

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.7.2.16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2.16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.2.16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.2.16.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7.2.16.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7.2.17

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.17.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 4.7.2.17.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.17.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.7.2.17.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.7.2.17.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 4.7.2.17.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.17.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2.17.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.2.17.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.2.17.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7.2.17.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7.2.18

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.18.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 4.7.2.18.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.18.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.7.2.18.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 4.7.2.18.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 4.7.2.18.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.18.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2.18.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.2.18.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.2.18.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7.2.18.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7.2.19

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7.2.20

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2

Combina $\frac{π}{2} + π n$ e $\frac{π n}{2}$ in $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ e risolvendo.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , per qualsiasi intero $n$