Trigonometria Esempi

sin (2 x) + \sqrt{2 cos (x)} = 0

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Passaggio 1

Sottrai

$\sin (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2 \cos (x)}$ come

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica

${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola del prodotto a

$- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica

$\sin^{2} (2 x)$ per

$1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 4

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai

$\sin^{2} (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 4.2

Sostituisci

$\sin^{2} (2 x)$ con

$1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica l'identità pitagorica.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a

$2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica

$4$ per

$- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi

$2 \cos (x)$ da

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi

$2 \cos (x)$ da

$2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi

$2 \cos (x)$ da

$- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 4.4.3

Scomponi

$2 \cos (x)$ da

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.6

Imposta

$\cos (x)$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta

$\cos (x)$ uguale a

$0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi

$\cos (x) = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Il valore esatto di

$\arccos (0)$ è

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4

Semplifica

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.2.1

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.3.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.6.2.4.3.2

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.6.2.5

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.6.2.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.6.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.6.2.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 4.6.2.6

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4.7

Imposta

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ uguale a

$0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sostituisci

$\sin^{2} (x)$ con

$1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.2

Moltiplica

$1 - \cos^{2} (x)$ per

$1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.4

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.5

Moltiplica

$\cos^{2} (x)$ per

$\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.5.1

Sposta

$\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.7.2.5.2

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.5.2.1

Eleva

$\cos (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.7.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Passaggio 4.7.2.5.3

Somma

$1$ e

$2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.6

Riordina il polinomio.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 4.7.2.7

Sostituisci

$\cos (x)$ per

$u$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Passaggio 4.7.2.8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.8.1

Scomponi

$- u$ da

$- u^{3} + u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.8.1.1

Scomponi

$- u$ da

$- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Passaggio 4.7.2.8.1.2

Riscrivi

$u$ come

$1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Passaggio 4.7.2.8.1.3

Scomponi

$- u$ da

$1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.8.1.4

Scomponi

$- u$ da

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Passaggio 4.7.2.8.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.7.2.8.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.8.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = u$ e

$b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 4.7.2.8.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 4.7.2.9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.10

Imposta

$u$ uguale a

$0$ .

$u = 0$

Passaggio 4.7.2.11

Imposta

$u + 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.11.1

Imposta

$u + 1$ uguale a

$0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.11.2

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 4.7.2.12

Imposta

$u - 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.12.1

Imposta

$u - 1$ uguale a

$0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.7.2.12.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 4.7.2.13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$ vera.

$u = 0, - 1, 1$

Passaggio 4.7.2.14

Sostituisci

$u$ per

$\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Passaggio 4.7.2.15

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per

$x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Passaggio 4.7.2.16

Risolvi per

$x$ in

$\cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.7.2.16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.2.1

Il valore esatto di

$\arccos (0)$ è

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4

Semplifica

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.4.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.4.2.1

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.4.3.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.4.3.2

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.7.2.16.5

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2.16.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.2.16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.2.16.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7.2.16.6

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4.7.2.17

Risolvi per

$x$ in

$\cos (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.17.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 4.7.2.17.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.17.2.1

Il valore esatto di

$\arccos (- 1)$ è

$π$ .

$x = π$

Passaggio 4.7.2.17.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.7.2.17.4

Sottrai

$π$ da

$2 π$ .

$x = π$

Passaggio 4.7.2.17.5

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.17.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2.17.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.2.17.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.2.17.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7.2.17.6

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4.7.2.18

Risolvi per

$x$ in

$\cos (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.18.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 4.7.2.18.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.18.2.1

Il valore esatto di

$\arccos (1)$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.7.2.18.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 4.7.2.18.4

Sottrai

$0$ da

$2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 4.7.2.18.5

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.18.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2.18.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.2.18.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.2.18.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7.2.18.6

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4.7.2.19

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4.7.2.20

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 5

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina

$\frac{π}{2} + 2 π n$ e

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in

$\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 5.2

Combina

$\frac{π}{2} + π n$ e

$\frac{π n}{2}$ in

$\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ e risolvendo.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , per qualsiasi intero

$n$