Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Passaggio 1

Sottrai $\cos (3 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Passaggio 2.2

Utilizza l'identità ad angolo triplo per trasformare $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\cos (x)$ da $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ uguale a $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Passaggio 6.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 6.2.3

Somma $- 4$ e $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2.4

Riordina il polinomio.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2.5

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Passaggio 6.2.6

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.7

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Passaggio 6.2.8.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 6.2.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 6.2.10

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 6.2.11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 6.2.12

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Passaggio 6.2.12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.2.1

Calcola $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Passaggio 6.2.12.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Passaggio 6.2.12.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Passaggio 6.2.12.4.2

L'angolo risultante di $\frac{9 π}{10}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Passaggio 6.2.12.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.12.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2.13

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Passaggio 6.2.13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.2.1

Calcola $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Passaggio 6.2.13.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Passaggio 6.2.13.4.2

L'angolo risultante di $\frac{13 π}{10}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.13.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{3 π}{10}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Passaggio 6.2.13.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.6.3.1

$2 π$ e $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.6.4.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.6.4.2

Sottrai $3 π$ da $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{17 π}{10}$

Passaggio 6.2.13.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2.14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$