Trigonometria Esempi

$\csc (4 x) = \sqrt{2}$

Passaggio 1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$4 x = arccsc (\sqrt{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $arccsc (\sqrt{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Passaggio 4

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$4 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.1.4.2

Sottrai $π$ da $4 \cdot π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Passaggio 5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\csc (4 x)$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\csc (4 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$