Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

Passaggio 1

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (67.5)$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $67.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

Passaggio 1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

Passaggio 1.1.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 1.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 1.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

Passaggio 2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1

Calcola $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 33.75$

Passaggio 4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Passaggio 5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot 33.75$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $33.75$ .

$x = 67.5$

Passaggio 6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (360 - 33.75)$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $2 (360 - 33.75)$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Sottrai $33.75$ da $360$ .

$x = 2 \cdot 326.25$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $326.25$ .

$x = 652.5$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$360 \cdot 2$

Passaggio 8.5

Moltiplica $360$ per $2$ .

$720$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2})$ è $720$ , quindi i valori si ripetono ogni $720$ gradi in entrambe le direzioni.

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ , per qualsiasi intero $n$