Trigonometria Esempi

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Passaggio 1

Semplifica $\cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$ .

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Passaggio 1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (3 y)$ e $b = \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = (\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Passaggio 1.2

Espandi $(\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.1

Combina i termini opposti in $\cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (3 y) (- \sin (3 y))$ e $\sin (3 y) \cos (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) - \cos (3 y) \sin (3 y) + \cos (3 y) \sin (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.1.2

Somma $- \cos (3 y) \sin (3 y)$ e $\cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + 0 + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.1.3

Somma $\cos (3 y) \cos (3 y)$ e $0$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $\cos (3 y) \cos (3 y)$ .

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Passaggio 1.3.2.1.1

Eleva $\cos (3 y)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.2.1.2

Eleva $\cos (3 y)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos^{1} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.2.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (6 y) = {\cos (3 y)}^{1 + 1} + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin (3 y) \sin (3 y)$

Passaggio 1.3.2.3

Moltiplica $- \sin (3 y) \sin (3 y)$ .

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Passaggio 1.3.2.3.1

Eleva $\sin (3 y)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin (3 y))$

Passaggio 1.3.2.3.2

Eleva $\sin (3 y)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin^{1} (3 y))$

Passaggio 1.3.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - {\sin (3 y)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Passaggio 1.4

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$\cos (6 y) = \cos (2 (3 y))$

Passaggio 1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\cos (6 y) = \cos (6 y)$

Passaggio 2

Perché le due funzioni siano uguali, gli argomenti di ciascuna devono essere uguali.

$6 y = 6 y$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y - 6 y = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $6 y$ da $6 y$ .

$0 = 0$

Passaggio 4

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $y$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$