Trigonometria Esempi

$\cos (3 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$3 x - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $\frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$3 x = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

Passaggio 3.6.3

Somma $3 π$ e $4 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{7 π}{12}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{7 π}{12}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{12}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{12 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$x = \frac{7 π}{36}$

Passaggio 5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 6.1.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $\frac{7 π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.3

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $\frac{7 π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Passaggio 6.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$3 x = \frac{21 π + π \cdot 4}{12}$

Passaggio 6.2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$3 x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{12}$

Passaggio 6.2.6.3

Somma $21 π$ e $4 π$ .

$3 x = \frac{25 π}{12}$

Passaggio 6.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{25 π}{12}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{25 π}{12}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $\frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{25 π}{12}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{25 π}{12 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$x = \frac{25 π}{36}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π n}{3}, \frac{25 π}{36} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$