Trigonometria Esempi

$6 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) - 6 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (x)$ con $u$ .

$6 u^{2} + 5 u - 6 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $5$ da $5 u$ .

$6 u^{2} + 5 (u) - 6 = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi $5$ come $- 4$ più $9$ .

$6 u^{2} + (- 4 + 9) u - 6 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 u^{2} - 4 u + 9 u - 6 = 0$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(6 u^{2} - 4 u) + 9 u - 6 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 u (3 u - 2) + 3 (3 u - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (2 u + 3) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $3 \sin (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $3 \sin (x) - 2$ uguale a $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3 \sin (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin (x) = 2$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (x) = 2$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (x) = 2$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Passaggio 3.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Passaggio 3.2.6.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Passaggio 3.2.6.3

Sottrai $0.72972765$ da $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Passaggio 3.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $2 \sin (x) + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2 \sin (x) + 3$ uguale a $0$ .

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 \sin (x) + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) = - 3$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = - 3$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 4.2.3

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- \frac{3}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$ vera.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$