Trigonometria Esempi

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Passaggio 1

Utilizza l'identità per risolvere l'equazione. In questa identità, $θ$ rappresenta l'angolo creato tracciando il punto $(a, b)$ su un grafico e di conseguenza può essere trovato mediante $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ dove $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Passaggio 2

Imposta l'equazione per trovare il valore di $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Passaggio 3

Calcola $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Passaggio 4

Risolvi per trovare il valore di $R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Passaggio 4.3

Somma $25$ e $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Passaggio 6

Dividi per $\sqrt{61}$ ciascun termine in $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $\sqrt{61}$ ciascun termine in $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{61}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\sin (3 x + 0.87605805)$ per $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{61}}$ per $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Passaggio 6.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{61}}$ per $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Passaggio 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{61}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Passaggio 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{61}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Passaggio 6.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{61}}^{2}$ come $61$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{61}$ come $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Passaggio 6.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $0.87605805$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Passaggio 9.2

Sottrai $0.87605805$ da $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Passaggio 10

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 0.74766873$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 0.74766873$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Passaggio 10.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Passaggio 10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi $- 0.74766873$ per $3$ .

$x = - 0.24922291$

Passaggio 11

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sottrai $0.12838931$ da $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Passaggio 12.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sottrai $0.87605805$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $0.87605805$ da $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Passaggio 12.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2.13714528$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2.13714528$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Passaggio 12.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Passaggio 12.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Dividi $2.13714528$ per $3$ .

$x = 0.71238176$

Passaggio 13

Trova il periodo di $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

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Passaggio 13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 14

Somma $\frac{2 π}{3}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 14.1

Somma $\frac{2 π}{3}$ a $- 0.24922291$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 14.2

Sottrai $0.24922291$ da $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Passaggio 14.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 1.84517219$

Passaggio 15

Il periodo della funzione $\sin (3 x + 0.87605805)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$