Trigonometria Esempi

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Passaggio 2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $2$ da $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $2$ da $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2$ da $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $2$ da $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $4 u^{2} - 2 u - 1$ per $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Passaggio 11.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Passaggio 11.4

Semplifica $π - \frac{3 π}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Passaggio 11.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

$π$ e $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Passaggio 11.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Passaggio 11.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.1

Sposta $10$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Passaggio 11.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Passaggio 12.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π + \frac{π}{10}$

Passaggio 12.4

Semplifica $π + \frac{π}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$π$ e $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.1

Sposta $10$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Passaggio 12.4.3.2

Somma $10 π$ e $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{10}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Passaggio 12.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Passaggio 12.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.3.1

$2 π$ e $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Passaggio 12.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Passaggio 12.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.4.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Passaggio 12.6.4.2

Sottrai $π$ da $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Passaggio 12.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{19 π}{10}$

Passaggio 12.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$