Trigonometria Esempi

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (\frac{x}{2})$ con $u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 4$ più $- 6$ .

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.6.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Passaggio 3.2.6.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.6.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Passaggio 3.2.8.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Passaggio 3.2.8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Passaggio 3.2.8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1

Semplifica $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 3.2.8.2.2.1.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 3.2.9

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.9.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.2.9.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 3.2.9.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 3.2.10

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ uguale a $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Passaggio 4.2.6

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Passaggio 4.2.6.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Passaggio 4.2.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Passaggio 4.2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Passaggio 4.2.8.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Passaggio 4.2.8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Passaggio 4.2.8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.2.1

Semplifica $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.2.1.1

Sottrai $0.84806207$ da $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Passaggio 4.2.8.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Passaggio 4.2.9

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.9.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.9.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 4.2.9.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 4.2.10

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$