Trigonometria Esempi

$7 x^{2} + 6 \sqrt{3} x y + 13 y^{2} - 6 = 0$

Passaggio 1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori $a = 7$ , $b = 6 \sqrt{3} y$ e $c = 13 y^{2} - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2

Sia $u = 7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ con $u$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $6 \sqrt{3} y$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $6 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $36$ per $3$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{108 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $4$ da $108 y^{2} - 4 u$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Scomponi $4$ da $108 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (27 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - u)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 \cdot (13 y^{2} - 6)))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

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Passaggio 3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 (13 y^{2}) + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5.1.2

Moltiplica $13$ per $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5.1.3

Moltiplica $7$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} - 42))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5.1.5

Moltiplica $91$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.5.2

Sottrai $91 y^{2}$ da $27 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 64 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.6

Scomponi $2$ da $- 64 y^{2} + 42$ .

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Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 64 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.6.2

Scomponi $2$ da $42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 2 (21))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.6.3

Scomponi $2$ da $2 (- 32 y^{2}) + 2 (21)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{8 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.8

Riscrivi $8 (- 32 y^{2} + 21)$ come $2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))$ .

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Passaggio 3.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2) (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

Passaggio 4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y - \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y + \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$