Trigonometria Esempi

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$

Passaggio 1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 6.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.5.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 6.5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 6.5.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 6.5.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 6.6

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 6.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.7

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Passaggio 7.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 7.5.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 7.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 7.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 7.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 7.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 7.5.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 7.6

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 7.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 7.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 7.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{12}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Passaggio 7.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 7.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 7.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Passaggio 7.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Passaggio 7.7.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Passaggio 7.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{12}$

Passaggio 7.8

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Combina $\frac{π}{12} + π n$ e $\frac{7 π}{12} + π n$ in $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Combina $\frac{5 π}{12} + π n$ e $\frac{11 π}{12} + π n$ in $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$