Trigonometria Esempi

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $2$ da $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $- 4 \sqrt{2} u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $2$ da $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $2$ da $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ .

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ per $1$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3.5

Calcola l'esponente.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 6.1.5.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.5.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.6

Sottrai $8$ da $8$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 9

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 10

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 11

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 11.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 11.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$