Trigonometria Esempi

$\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

${(\sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $0$ .

${(0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

${(0 + \cos (x) \cdot 1)}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

${(0 + \cos (x))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 2.2

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\cos^{2} (x) = 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 8.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 8.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 8.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 8.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 9.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.4

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Passaggio 9.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 9.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 9.4.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 9.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 9.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 9.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 11.1

Combina $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11.2

Combina $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Escludi le soluzioni che non rendono $\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ vera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$