Trigonometria Esempi

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti $a$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\tan (\frac{a}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Passaggio 1.3

Per scrivere $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Passaggio 1.4

Per scrivere $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Passaggio 1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ per $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ per $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

Passaggio 1.5.3

Riordina i fattori di $(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $\sin (\frac{a}{2})$ per $1$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Passaggio 2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $\sin (\frac{a}{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - \cos (a)}$ come ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica.

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $\cos^{2} (\frac{a}{2})$ per $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ come $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Espandi $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

Passaggio 3.3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1

Moltiplica $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1.2

Moltiplica $\sin (\frac{a}{2})$ per $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1.3

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1.4

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2

Moltiplica $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $\sin (\frac{a}{2})$ per $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2.3

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2.4

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3

Moltiplica $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3.2

Moltiplica $\sin (\frac{a}{2})$ per $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3.3

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3.4

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4

Moltiplica $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\sin (\frac{a}{2})$ per $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sin (\frac{a}{2})$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.7

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.8

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3.1.4.10

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Passaggio 3.3.3.1.3.2

Somma $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ e $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Passaggio 3.4

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Sottrai $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Passaggio 3.4.1.2

Sottrai $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Passaggio 3.4.1.3

Sottrai $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sposta $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica per $1$ .

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.5

Scomponi $\cos (a)$ da $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.6

Scomponi $\cos (a)$ da $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ .

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.7

Riscrivi $- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ come $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.8

Applica l'identità pitagorica.

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.9

Riordina i fattori di $\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.2.10

Sottrai $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ da $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ da $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Sposta $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Passaggio 3.4.3.1.2

Sposta $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Passaggio 3.4.3.1.3

Riordina $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ e $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ da $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ da $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

Passaggio 3.4.3.4

Scomponi $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ da $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

Passaggio 3.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

Passaggio 3.4.5

Imposta $\cos (a)$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Imposta $\cos (a)$ uguale a $0$ .

$\cos (a) = 0$

Passaggio 3.4.5.2

Risolvi $\cos (a) = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Trova il valore dell'incognita $a$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$a = \arccos (0)$

Passaggio 3.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$a = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$a = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$a = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.5

Trova il periodo di $\cos (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (a)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4.6

Imposta $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Imposta $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ uguale a $0$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Passaggio 3.4.6.2

Risolvi $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

Passaggio 3.4.6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

Passaggio 3.4.6.2.3

Trova il valore dell'incognita $a$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 3.4.6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{a}{2} = 0$

Passaggio 3.4.6.2.5

Poni il numeratore uguale a zero.

$a = 0$

Passaggio 3.4.6.2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{a}{2} = π - 0$

Passaggio 3.4.6.2.7

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 3.4.6.2.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 3.4.6.2.7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 2 (π - 0)$

Passaggio 3.4.6.2.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.7.2.2.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$a = 2 π$

Passaggio 3.4.6.2.8

Trova il periodo di $\sin (\frac{a}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.6.2.8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.4.6.2.8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 3.4.6.2.8.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 3.4.6.2.9

Il periodo della funzione $\sin (\frac{a}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4.7

Imposta $\cos (a) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Imposta $\cos (a) + 1$ uguale a $0$ .

$\cos (a) + 1 = 0$

Passaggio 3.4.7.2

Risolvi $\cos (a) + 1 = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (a) = - 1$

Passaggio 3.4.7.2.2

Trova il valore dell'incognita $a$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$a = \arccos (- 1)$

Passaggio 3.4.7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$a = π$

Passaggio 3.4.7.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$a = 2 π - π$

Passaggio 3.4.7.2.5

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$a = π$

Passaggio 3.4.7.2.6

Trova il periodo di $\cos (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.7.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.7.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.7.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.7.2.7

Il periodo della funzione $\cos (a)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$a = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ vera.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2

Combina $4 π n$ e $2 π + 4 π n$ in $2 π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.3

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.4

Consolida le risposte.

$a = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ e risolvendo.

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$