Trigonometria Esempi

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \arctan (1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{π - π}{4}$

Passaggio 3.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.4

Dividi $0$ per $4$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 6.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.1.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 6.1.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π - π}{4}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $π$ da $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{4}$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{4}$

Passaggio 6.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{x}{2} = π$

Passaggio 6.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 π$

Passaggio 6.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 π$

Passaggio 6.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 π$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π \cdot 2$

Passaggio 7.5

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 π$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$