Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (30)}{x} = \frac{\sin (60)}{y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$ .

$\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Passaggio 2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\sin (60)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Passaggio 2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\frac{1}{2}}{x}$

Passaggio 2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y, 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché $2 y, 2 x$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 2$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 3.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.5

Il minimo comune multiplo di $2, 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot x$

Passaggio 3.9

Moltiplica $y$ per $x$ .

$y x$

Passaggio 3.10

Il minimo comune multiplo di $2 y, 2 x$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y x$

Passaggio 4

Moltiplica per $2 y x$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ per $2 y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} (2 y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (y)} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y (x)) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 (x)} (y x)$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (y x)$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Passaggio 4.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} x = y$

Passaggio 5

Riscrivi l'equazione come $y = \sqrt{3} x$ .

$y = \sqrt{3} x$

Passaggio 6

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{3} y$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{3} y = x$ .

$\sqrt{3} y = x$

Passaggio 7.2

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} y = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} y = x$ .

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 7.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 7.2.3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 7.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{3} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 9.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 9.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{3} x)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{(\sqrt{3} x) \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 9.2.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 9.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Passaggio 9.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Passaggio 9.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Passaggio 9.2.4.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Passaggio 9.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Passaggio 9.2.4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Passaggio 9.2.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.2.4.1.5

Calcola l'esponente.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.2.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.2.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = x$

Passaggio 9.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 9.3.2

Calcola $f (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} (x \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 9.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Passaggio 9.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Passaggio 9.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Passaggio 9.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Passaggio 9.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.4.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = x$

Passaggio 9.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{3} x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$