Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (x - 1)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \csc^{2} (y - 1)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\csc^{2} (y - 1) = x$ .

$\csc^{2} (y - 1) = x$

Passaggio 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (y - 1) = \pm \sqrt{x}$

Passaggio 2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

Passaggio 2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

Passaggio 2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Passaggio 2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $y$ .

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y$ in $\csc (y - 1) = \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dalla cosecante.

$y - 1 = arccsc (\sqrt{x})$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

Passaggio 2.6

Risolvi per $y$ in $\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dalla cosecante.

$y - 1 = arccsc (- \sqrt{x})$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Passaggio 2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ è l'inverso di $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ e $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[1, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $arccsc (\sqrt{x}) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Imposta l'argomento in $arccsc (\sqrt{x})$ in modo che sia minore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x \leq 1$

Passaggio 4.3.3.3

Trova il dominio di $\sqrt{x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 4.3.3.3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 4.3.3.4

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 4.3.3.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.3.3.5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Passaggio 4.3.3.5.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 4.3.3.5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 4.3.3.5.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Passaggio 4.3.3.5.2.3

Il lato sinistro di $0.70710678$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 4.3.3.5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.3.3.5.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Passaggio 4.3.3.5.3.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 4.3.3.5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Passaggio 4.3.3.6

Poiché nessun numero rientra nell'intervallo, questa diseguaglianza non ha soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4.3.4

Imposta l'argomento in $arccsc (\sqrt{x})$ in modo che sia maggiore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x} \geq 1$

Passaggio 4.3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.1.2

Semplifica.

$x \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x \geq 1$

Passaggio 4.3.5.3

Trova il dominio di $\sqrt{x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 4.3.5.3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 4.3.5.4

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \geq 1$

Passaggio 4.3.6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 4.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ , allora $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ non è un inverso di $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 5