Trigonometria Esempi

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $\sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $x \sin (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Passaggio 2.4.4

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Sostituisci $u$ a $\sin (y)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Passaggio 2.4.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Passaggio 2.4.4.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.4.4

Sostituisci i valori $a = - 2$ , $b = - x$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.5.1.4

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.5.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.5.1.4.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Passaggio 2.4.4.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.6.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.6.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.6.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.6.1.4

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.6.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.6.1.4.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Passaggio 2.4.4.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.7.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.7.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.7.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.7.1.4

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.7.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.7.1.4.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.4.4.7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Passaggio 2.4.4.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.9

Sostituisci $\sin (y)$ a $u$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $y$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Passaggio 2.4.4.11

Risolvi per $y$ in $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.11.1

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.11.2.1

Semplifica $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.11.2.1.1

Dividi la frazione $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ in due frazioni.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Passaggio 2.4.4.11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.11.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.12

Risolvi per $y$ in $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.12.1

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.12.2.1

Semplifica $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.12.2.1.1

Dividi la frazione $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ in due frazioni.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Passaggio 2.4.4.12.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Passaggio 2.4.4.12.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.12.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.12.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.12.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ per $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.12.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.12.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 2.4.4.13

Elenca tutte le soluzioni.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ e $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Passaggio 4.3

Find the domain of the inverse.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Trova il dominio di $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 8}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq - 8$

Passaggio 4.3.1.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 4.3.1.3

Imposta l'argomento in $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ in modo che sia maggiore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Passaggio 4.3.1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.1

Moltiplica ogni lato per $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.1.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.1.4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.1.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Passaggio 4.3.1.4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.1

Aggiungi $x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Passaggio 4.3.1.4.3.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 8}$ come ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1

Semplifica ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.3

Moltiplica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.2.1.5

Semplifica.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1

Semplifica ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.1

Riscrivi ${(- 4 + x)}^{2}$ come $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.2

Espandi $(- 4 + x) (- 4 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.4.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.2.2

Combina i termini opposti in $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.2.2.2

Somma $16 - 8 x$ e $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.3.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x \leq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x \leq - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.3.4.4.3.1

Dividi $- 8$ per $- 8$ .

$x \geq 1$

Passaggio 4.3.1.4.4

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 1$

Passaggio 4.3.1.5

Imposta l'argomento in $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ in modo che sia minore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Passaggio 4.3.1.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.1

Moltiplica ogni lato per $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.1.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.1.6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.1.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.2.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Passaggio 4.3.1.6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.1

Aggiungi $x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Passaggio 4.3.1.6.3.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 8}$ come ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1

Semplifica ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.3

Moltiplica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.2.1.5

Semplifica.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1

Semplifica ${(4 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.1

Riscrivi ${(4 + x)}^{2}$ come $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.2

Espandi $(4 + x) (4 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.6.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.2.2

Combina i termini opposti in $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.2.2.2

Somma $16 + 8 x$ e $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$8 x \geq 8 - 16$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.3.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$8 x \geq - 8$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x \geq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x \geq - 8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.3.4.4.3.1

Dividi $- 8$ per $8$ .

$x \geq - 1$

Passaggio 4.3.1.6.4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$x > - 1$

Passaggio 4.3.1.6.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.3.1.6.5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Passaggio 4.3.1.6.5.1.3

Il lato sinistro di $- 0.22474487$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.3.1.6.5.2

Testa un valore sull'intervallo $x > - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.3.1.6.5.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Passaggio 4.3.1.6.5.2.3

Il lato sinistro di $- 0.70710678$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.3.1.6.5.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$x > - 1$ Vero

$x < - 1$ Vero

$x > - 1$ Vero

Passaggio 4.3.1.6.6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 1$ o $x \geq - 1$

Passaggio 4.3.1.6.7

Combina gli intervalli.

Tutti i numeri reali

Passaggio 4.3.1.7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1]$

Passaggio 4.3.2

Trova il dominio di $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 8}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Passaggio 4.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq - 8$

Passaggio 4.3.2.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 4.3.2.3

Imposta l'argomento in $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ in modo che sia maggiore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Passaggio 4.3.2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica ogni lato per $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Passaggio 4.3.2.4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.1

Aggiungi $x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Passaggio 4.3.2.4.3.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 8}$ come ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1

Semplifica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1

Semplifica ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.1

Riscrivi ${(- 4 + x)}^{2}$ come $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.2

Espandi $(- 4 + x) (- 4 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.2.2

Combina i termini opposti in $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.2.2.2

Somma $16 - 8 x$ e $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.3.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x \leq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x \leq - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.3.4.4.3.1

Dividi $- 8$ per $- 8$ .

$x \geq 1$

Passaggio 4.3.2.4.4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$x > 1$

Passaggio 4.3.2.4.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.3.2.4.5.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Passaggio 4.3.2.4.5.1.3

Il lato sinistro di $0.70710678$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.3.2.4.5.2

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.3.2.4.5.2.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Passaggio 4.3.2.4.5.2.3

Il lato sinistro di $0.22474487$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.3.2.4.5.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

$x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

Passaggio 4.3.2.4.6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 1$ o $x \geq 1$

Passaggio 4.3.2.4.7

Combina gli intervalli.

Tutti i numeri reali

Passaggio 4.3.2.5

Imposta l'argomento in $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ in modo che sia minore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Passaggio 4.3.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Moltiplica ogni lato per $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.2.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Passaggio 4.3.2.6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.1

Aggiungi $x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Passaggio 4.3.2.6.3.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 8}$ come ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1

Semplifica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1

Semplifica ${(4 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.1

Riscrivi ${(4 + x)}^{2}$ come $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.2

Espandi $(4 + x) (4 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Passaggio 4.3.2.6.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.2.2

Combina i termini opposti in $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.2.2.2

Somma $16 + 8 x$ e $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$8 x \geq 8 - 16$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.3.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$8 x \geq - 8$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x \geq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x \geq - 8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.3.4.4.3.1

Dividi $- 8$ per $8$ .

$x \geq - 1$

Passaggio 4.3.2.7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, \infty)$

Passaggio 4.3.3

Trova l'unione di $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ , allora $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ non è un inverso di $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 5