Trigonometria Esempi

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Semplifica $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + \cot (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Passaggio 2.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Passaggio 2.3.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.2.1

Poiché $\cot (- y)$ è una funzione dispari, riscrivi $\cot (- y)$ come $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Moltiplica $- - \cot (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Passaggio 2.3.1.1.2.2.2

Moltiplica $\cot (y)$ per $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica $x (1 + \cot (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci $\cot (y)$ per $u$ .

$1 + u = x + x (u)$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $x u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1 + u - x u = x$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u - x u = x - 1$

Passaggio 2.4.4

Scomponi $u$ da $u - x u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Passaggio 2.4.4.2

Scomponi $u$ da $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Passaggio 2.4.4.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Passaggio 2.4.5

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $u (1 - x) = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $u (1 - x) = x - 1$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.3.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.3.2.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.3.2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Passaggio 2.4.5.3.2.4

Riordina i termini.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Passaggio 2.4.5.3.2.5

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Passaggio 2.4.5.3.2.6

Dividi $- 1$ per $1$ .

$u = - 1$

Passaggio 2.4.6

Sostituisci $u$ per $\cot (y)$ .

$\cot (y) = - 1$

Passaggio 2.4.7

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$y = arccot (- 1)$

Passaggio 2.4.8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.8.1

Il valore esatto di $arccot (- 1)$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Passaggio 2.4.10

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 2.4.10.1

Somma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 2.4.10.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{4}$ è positivo e coterminale con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 2.4.11

Trova il periodo di $\cot (y)$ .

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Passaggio 2.4.11.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.4.11.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.11.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.4.11.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.4.12

Il periodo della funzione $\cot (y)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Consolida le risposte.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Passaggio 4.2.3

Riordina $\frac{3 π}{4}$ e $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$