Trigonometria Esempi

$\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{y}))}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot {\arctan (\sqrt{y})}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2

Combina.

$x = \frac{1 \cdot 1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}} = x$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}} = x$

Passaggio 2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$

Passaggio 2.4

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 2.4.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica per $2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$ per $2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.5.2.3

Elimina il fattore comune di ${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.6

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$\frac{2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.6.2.2.4

Dividi ${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.6.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Semplifica ${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 2.6.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 2.6.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{1} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 2.6.4.1.1.2

Semplifica.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Passaggio 2.6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.2.1

Semplifica ${(\frac{1}{2 x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2 x}$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1^{2}}{{(2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1^{2}}{2^{2} x^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2^{2} x^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y^{\frac{1}{2}} = \tan (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 2.6.5.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 2.6.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.3.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 2.6.5.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 2.6.5.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 2.6.5.3.1.2

Semplifica.

$y = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2} \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{2}$ come $2^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} \cdot 2^{- 1 \cdot 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} \cdot 2^{- 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2 - 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.2.8

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{0} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.2.3.4

Moltiplica gli esponenti in ${({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 4.2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 4.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 4.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- 1}})$

Passaggio 4.2.3.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot \frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}})$

Passaggio 4.2.3.6

Moltiplica $\frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{\frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}})$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (1 \arctan (\sqrt{x}))$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $\arctan (\sqrt{x})$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\arctan (\sqrt{x}))$

Passaggio 4.2.6

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = {\sqrt{x}}^{2}$

Passaggio 4.2.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.2.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x$

Passaggio 4.2.7.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})}))}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.5

Combina.

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1 \cdot 1}{2 {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2 {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$