Trigonometria Esempi

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2

Semplifica $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per scrivere $\frac{3 y^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{3 y^{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.4.1.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.4.1.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{y^{2} (1 + 12)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.4.1.3

Somma $1$ e $12$ .

$\frac{y^{2} \cdot 13}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $13$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Passaggio 2.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} - x = 0$

Passaggio 2.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $8$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$13 y^{2} + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$13 y^{2} + 2 (4) (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$13 y^{2} + 2 \cdot (4 (\frac{9 y}{2})) + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$13 y^{2} + 4 (9 y) + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $9$ per $4$ .

$13 y^{2} + 36 y + 8 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$13 y^{2} + 36 y - 8 x = 0$

Passaggio 2.4.3

Sposta $36 y$ .

$13 y^{2} - 8 x + 36 y = 0$

Passaggio 2.5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori $a = 13$ , $b = 36$ e $c = - 8 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (13 \cdot (- 8 x))}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $- 52$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.3

Scomponi $16$ da $1296 + 416 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Scomponi $16$ da $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.3.2

Scomponi $16$ da $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.3.3

Scomponi $16$ da $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi $16 (81 + 26 x)$ come ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.2.2

Moltiplica $- 52$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.3

Scomponi $16$ da $1296 + 416 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.1

Scomponi $16$ da $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.3.2

Scomponi $16$ da $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.3.3

Scomponi $16$ da $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.4

Riscrivi $16 (81 + 26 x)$ come ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Passaggio 2.8.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Passaggio 2.8.5

Scomponi $2$ da $- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$y = \frac{2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Passaggio 2.8.5.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Passaggio 2.8.6

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Passaggio 2.8.7

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Passaggio 2.8.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{81 + 26 x})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (9 - \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Passaggio 2.8.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.2.2

Moltiplica $- 52$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.3

Scomponi $16$ da $1296 + 416 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.3.1

Scomponi $16$ da $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.3.2

Scomponi $16$ da $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.3.3

Scomponi $16$ da $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.4

Riscrivi $16 (81 + 26 x)$ come ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $2$ per $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Passaggio 2.9.3

Semplifica $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Passaggio 2.9.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Passaggio 2.9.5

Scomponi $- 2$ da $- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1

Riordina $81$ e $26 x$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Passaggio 2.9.5.2

Scomponi $- 2$ da $- 18$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Passaggio 2.9.5.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 \sqrt{26 x + 81}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Passaggio 2.9.5.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (9) - 2 (\sqrt{26 x + 81})$ .

$y = \frac{- 2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Passaggio 2.9.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Passaggio 2.10

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $- \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{81 + 26 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$81 + 26 x \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $81$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$26 x \geq - 81$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi per $26$ ciascun termine in $26 x \geq - 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Dividi per $26$ ciascun termine in $26 x \geq - 81$ .

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 81}{26}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{81}{26}$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ è il dominio di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Passaggio 5