Trigonometria Esempi

$45^{y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $45^{y} = x$ .

$45^{y} = x$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Passaggio 3

Espandi $\ln (45^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Passaggio 4

Dividi per $\ln (45)$ ciascun termine in $y \ln (45) = \ln (x)$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $\ln (45)$ ciascun termine in $y \ln (45) = \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (45)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Passaggio 5

Scambia le variabili.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Passaggio 6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ .

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\ln (45)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Passaggio 6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.1

Riordina i fattori in $\ln (45) x$ .

$\ln (y) = x \ln (45)$

Passaggio 6.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $\ln (y) = x \ln (45)$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Passaggio 6.6

Riscrivi l'equazione come $y = e^{x \ln (45)}$ .

$y = e^{x \ln (45)}$

Passaggio 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Passaggio 8

Verifica se $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

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Passaggio 8.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 8.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 8.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 8.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $\ln (45)$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 8.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Passaggio 8.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 8.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 8.3.2

Calcola $f (e^{x \ln (45)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Passaggio 8.3.3

Espandi $\ln (e^{x \ln (45)})$ spostando $x \ln (45)$ fuori dal logaritmo.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Passaggio 8.3.4

Elimina il fattore comune di $\ln (45)$ .

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Passaggio 8.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Passaggio 8.3.4.2

Dividi $x \ln (e)$ per $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Passaggio 8.3.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Passaggio 8.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$