Trigonometria Esempi

$1 - \sec^{2} (x)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 1 - \sec^{2} (y)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $1 - \sec^{2} (y) = x$ .

$1 - \sec^{2} (y) = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sec^{2} (y) = x - 1$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sec^{2} (y) = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sec^{2} (y) = x - 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sec^{2} (y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $\sec^{2} (y)$ per $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec^{2} (y) = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x$ come $- x$ .

$\sec^{2} (y) = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sec^{2} (y) = - x + 1$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{- x + 1}$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

Passaggio 2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Passaggio 2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Passaggio 2.7

Risolvi per $y$ in $\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno della secante.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

Passaggio 2.8

Risolvi per $y$ in $\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno della secante.

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Passaggio 2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ è l'inverso di $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ e $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[2, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x + 1 \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 1$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x \leq 1$

Passaggio 4.3.3

Imposta l'argomento in $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ in modo che sia minore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{- x + 1} \leq - 1$

Passaggio 4.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x + 1}$ come ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1

Semplifica ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x + 1)}^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2.1.2

Semplifica.

$- x + 1 \leq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- x + 1 \leq 1$

Passaggio 4.3.4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.1.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \leq 1 - 1$

Passaggio 4.3.4.3.1.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$- x \leq 0$

Passaggio 4.3.4.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3.4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3.4.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3.4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \geq 0$

Passaggio 4.3.4.4

Trova il dominio di $\sqrt{- x + 1} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x + 1 \geq 0$

Passaggio 4.3.4.4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 1$

Passaggio 4.3.4.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.4.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.4.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x \leq 1$

Passaggio 4.3.4.4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1]$

Passaggio 4.3.4.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 4.3.4.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.3.4.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{- (- 2) + 1} \leq - 1$

Passaggio 4.3.4.6.1.3

Il lato sinistro di $1.7320508$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 4.3.4.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 4.3.4.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{- (0.5) + 1} \leq - 1$

Passaggio 4.3.4.6.2.3

Il lato sinistro di $0.70710678$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 4.3.4.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.3.4.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{- (4) + 1} \leq - 1$

Passaggio 4.3.4.6.3.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 4.3.4.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Passaggio 4.3.4.7

Poiché nessun numero rientra nell'intervallo, questa diseguaglianza non ha soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4.3.5

Imposta l'argomento in $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ in modo che sia maggiore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{- x + 1} \geq 1$

Passaggio 4.3.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.6.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x + 1}$ come ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.2.1

Semplifica ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.6.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.6.2.2.1.2

Semplifica.

$- x + 1 \geq 1^{2}$

Passaggio 4.3.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- x + 1 \geq 1$

Passaggio 4.3.6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.3.1.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq 1 - 1$

Passaggio 4.3.6.3.1.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$- x \geq 0$

Passaggio 4.3.6.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3.6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3.6.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3.6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.3.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \leq 0$

Passaggio 4.3.6.4

Trova il dominio di $\sqrt{- x + 1} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x + 1 \geq 0$

Passaggio 4.3.6.4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 1$

Passaggio 4.3.6.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.6.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.6.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.6.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x \leq 1$

Passaggio 4.3.6.4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1]$

Passaggio 4.3.6.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 0$

Passaggio 4.3.7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1]$

Passaggio 4.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ , allora $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ non è un inverso di $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 5