Trigonometria Esempi

$- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = - 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$ .

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ .

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\csc (\frac{1}{2} y)$ per $1$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dalla cosecante.

$\frac{1}{2} y = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{y}{2} = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 2.6

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 2.7

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 2.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ è l'inverso di $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 \csc (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{4} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 (2)} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1) + 1}{2})$

Passaggio 4.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2})) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1}{2})$

Passaggio 4.2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Combina i termini opposti in $2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) + 0}{2})$

Passaggio 4.2.6.1.2

Somma $2 \csc (\frac{x}{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Passaggio 4.2.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Passaggio 4.2.6.2.2

Dividi $\csc (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\csc (\frac{x}{2}))$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})))) + 2$

Passaggio 4.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Passaggio 4.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) + 2$

Passaggio 4.3.3.2

The functions cosecant and arccosecant are inverses.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{4}$ nel numeratore.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.4.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 1 (- x) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 1 x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 (- 2) (\frac{1}{2}) + 2$

Passaggio 4.3.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2})) + 2$

Passaggio 4.3.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 2 + 2$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ è l'inverso di $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$