Trigonometria Esempi

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Passaggio 1

Utilizza l'identità per risolvere l'equazione. In questa identità, $θ$ rappresenta l'angolo creato tracciando il punto $(a, b)$ su un grafico e di conseguenza può essere trovato mediante $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ dove $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Passaggio 2

Imposta l'equazione per trovare il valore di $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $θ$ usando l'inverso della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\tan^{-1} (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Passaggio 4

Risolvi per trovare il valore di $R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Passaggio 6

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\sin (θ - \frac{π}{4})$ per $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\sin^{-1} (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $θ$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 9.5.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 11.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 11.1.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $θ$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\sin (θ - \frac{π}{4})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$