Trigonometria Esempi

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Passaggio 1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Passaggio 2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Passaggio 2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Passaggio 2.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Passaggio 2.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Passaggio 3

Scambia le variabili. Crea un'equazione per ogni espressione.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Passaggio 4.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 (y + 1)}$ come ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.3.2

Semplifica.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.4.3.1

Semplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 4.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Passaggio 4.4.3.1.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Passaggio 4.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Passaggio 4.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 4.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Passaggio 4.4.3.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 4.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.5.1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Passaggio 4.5.1.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ e $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ e confrontali.

Passaggio 6.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Passaggio 6.2.1

Trova l'intervallo di $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Passaggio 6.2.1.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[2, \infty)$

Passaggio 6.2.2

Trova l'intervallo di $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Passaggio 6.2.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2]$

Passaggio 6.2.3

Trova l'unione di $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

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Passaggio 6.2.3.1

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 6.3

Trova il dominio di $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Passaggio 6.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{3 (x + 1)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 (x + 1) \geq 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 1) \geq 0$ e semplifica.

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Passaggio 6.3.2.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 1) \geq 0$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2.1.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 6.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, \infty)$

Passaggio 6.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ è l'intervallo di $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ è il dominio di $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 7