Trigonometria Esempi

$\cos (\arcsin (7 x))$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\cos (\arcsin (7 y)) = x$ .

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita $\arcsin (7 y)$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

Passaggio 2.3

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$7 y = \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica $\sin (\arccos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Passaggio 2.4.1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Passaggio 2.4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.5

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ è l'inverso di $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Passaggio 4.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (7 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ . Perciò, $\cos (\arcsin (7 x))$ è $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Passaggio 4.2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Passaggio 4.2.4.4

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Passaggio 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Passaggio 4.2.4.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Passaggio 4.2.4.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

Passaggio 4.2.4.8

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

Passaggio 4.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ . Perciò, $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.3

Riscrivi $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Scomponi $7$ da $7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.3.1.2

Scomponi $7$ da $7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1

Riduci l'espressione $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.3.2.2

Dividi $1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Passaggio 4.3.5.4.2

Dividi $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ è l'inverso di $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$