Trigonometria Esempi

$9 + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 9 + \sqrt{y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $9 + \sqrt{y} = x$ .

$9 + \sqrt{y} = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{y} = x - 9$

Passaggio 2.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Semplifica.

$y = {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ${(x - 9)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 9)}^{2}$ come $(x - 9) (x - 9)$ .

$y = (x - 9) (x - 9)$

Passaggio 2.4.3.1.2

Espandi $(x - 9) (x - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (x - 9) - 9 (x - 9)$

Passaggio 2.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9)$

Passaggio 2.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

Passaggio 2.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x$ .

$y = x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$y = x^{2} - 9 x - 9 x + 81$

Passaggio 2.4.3.1.3.2

Sottrai $9 x$ da $- 9 x$ .

$y = x^{2} - 18 x + 81$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ è l'inverso di $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (9 + \sqrt{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = {(9 + \sqrt{x})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi ${(9 + \sqrt{x})}^{2}$ come $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = (9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.2

Espandi $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 (9 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.3.2

Somma $9 \sqrt{x}$ e $9 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Passaggio 4.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 \cdot 9 - 18 \sqrt{x} + 81$

Passaggio 4.2.3.5

Moltiplica $- 18$ per $9$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$

Passaggio 4.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Combina i termini opposti in $81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Sottrai $18 \sqrt{x}$ da $18 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 0 + 81$

Passaggio 4.2.4.1.2

Somma $81 + x - 162$ e $0$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 81$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $162$ da $81$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x - 81 + 81$

Passaggio 4.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 81 + 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Somma $- 81$ e $81$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (x^{2} - 18 x + 81)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 81}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 9^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Passaggio 4.3.3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 9$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + x - 9$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $9 + x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ è l'inverso di $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$