Trigonometria Esempi

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 1

Scrivi $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ come un'equazione.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ .

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Passaggio 3.2

Sottrai $55$ da entrambi i lati dell'equazione.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Passaggio 3.3

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 55$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Scomponi $5$ da $- 55$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $40$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Passaggio 3.4

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Passaggio 3.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

$\frac{5 π}{4}$ e $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Passaggio 3.6

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.8

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Semplifica $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.8.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.8.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1.2.1

Scomponi $5 π$ da $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.8.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.8.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Semplifica $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 3.8.2.1.2

$\frac{4}{5 π}$ e $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 3.8.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 3.8.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 3.8.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Passaggio 3.8.2.1.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.4.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Passaggio 3.8.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Passaggio 3.8.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.9

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Passaggio 3.10

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Semplifica $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1.2.1

Scomponi $5 π$ da $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Semplifica $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.1

Per scrivere $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.2.1

$\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.11.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 3.11.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 3.11.2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 3.11.2.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Passaggio 3.11.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Passaggio 3.11.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Passaggio 3.11.2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.5.1

$2$ e $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Passaggio 3.11.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Passaggio 3.11.2.1.5.3

$\frac{4}{5 π}$ e $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Passaggio 3.11.2.1.6

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.6.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Passaggio 3.11.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Passaggio 3.11.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.11.2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.7.1

Per scrivere $- \frac{11}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.11.2.1.7.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $40$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.7.2.1

Moltiplica $\frac{11}{8}$ per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.11.2.1.7.2.2

Moltiplica $8$ per $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.11.2.1.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.11.2.1.7.4

Moltiplica $- 11$ per $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.11.2.1.8

Per scrivere $\frac{2}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Passaggio 3.11.2.1.9

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 3.11.2.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Passaggio 3.11.2.1.11

Scomponi $2$ da $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1.11.1

Scomponi $2$ da $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Passaggio 3.11.2.1.11.2

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Passaggio 3.11.2.1.11.3

Scomponi $2$ da $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (t)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ è l'inverso di $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (t))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $5$ da $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $5$ da $55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $5$ da $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.4

Scomponi $5$ da $- 55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.5

Scomponi $5$ da $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.6.1

Scomponi $5$ da $40$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

$\frac{5 π}{4}$ e $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $11$ da $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.4.3

Somma $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ per $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (t))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.5

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.6

Per scrivere $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.7

$\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.3

Combina i termini opposti in $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.3.2

Somma $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ e $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Passaggio 5.3.3.4.2

Dividi $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ per $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Passaggio 5.3.3.5

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Passaggio 5.3.3.6

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Passaggio 5.3.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $t - 55 + 55$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 55$ e $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $t$ e $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ , allora $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ è l'inverso di $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$