Trigonometria Esempi

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Passaggio 1

Scrivi $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ come un'equazione.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 e^{0.1 y} = t$ .

$3 e^{0.1 y} = t$

Passaggio 3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{0.1 y} = t$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{0.1 y} = t$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $e^{0.1 y}$ per $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{0.1 y})$ spostando $0.1 y$ fuori dal logaritmo.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $0.1$ per $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Passaggio 3.5

Dividi per $0.1$ ciascun termine in $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $0.1$ ciascun termine in $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $0.1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $0.1$ da $0.1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Passaggio 3.5.3.3

Frazioni separate.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Passaggio 3.5.3.4

Dividi $1$ per $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Passaggio 3.5.3.5

Dividi $\ln (\frac{t}{3})$ per $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ è l'inverso di $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (t))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $e^{0.1 t}$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Passaggio 5.2.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $0.1 t$ dall'esponente.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Passaggio 5.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $0.1$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $10 (0.1 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $0.1$ per $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (t))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica $10 \ln (\frac{t}{3})$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ spostando $0.1$ all'interno del logaritmo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Passaggio 5.3.6.2

Moltiplica $10$ per $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ , allora $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ è l'inverso di $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$