Trigonometria Esempi

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$

Passaggio 1

Scrivi $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ come un'equazione.

$y = - 16 t^{2} + 220$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$t = - 16 y^{2} + 220$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 16 y^{2} + 220 = t$ .

$- 16 y^{2} + 220 = t$

Passaggio 3.2

Sottrai $220$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 16 y^{2} = t - 220$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 16$ ciascun termine in $- 16 y^{2} = t - 220$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 16$ ciascun termine in $- 16 y^{2} = t - 220$ .

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 220}{- 16}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 220$ e $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 220$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 (55)}{- 16}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 16$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{55}{4}$

Passaggio 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$ .

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Passaggio 3.5.1

Per scrivere $\frac{55}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.5.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $\frac{55}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{16}}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 55 \cdot 4}{16}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $55$ per $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 220}{16}}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi $\frac{- t + 220}{16}$ come ${(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)$ .

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Passaggio 3.5.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $- t + 220$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{16}}$

Passaggio 3.5.5.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.5.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)}$

Passaggio 3.5.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{- t + 220}$

Passaggio 3.5.7

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{- t + 220}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Passaggio 3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ è l'inverso di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ e $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 220]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- t + 220}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- t + 220 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $t$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $220$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- t \geq - 220$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t \geq - 220$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t \geq - 220$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t \leq \frac{- 220}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 220$ per $- 1$ .

$t \leq 220$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $t$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 220]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ è l'intervallo di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ e l'intervallo di $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ è il dominio di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ , allora $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ è l'inverso di $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Passaggio 6