Trigonometria Esempi

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

x = cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Passaggio 2

Risolvi per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ .

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Passaggio 2.3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

y

$y$ da dentro l'arcotangente.

\sqrt{\frac{2}{y}} = tan (arccot (x))

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Riscrivi

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ come

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ per

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Moltiplica

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ per

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.2

Eleva

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.3

Eleva

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.6

Riscrivi

{\sqrt{y}}^{2}

${\sqrt{y}}^{2}$ come

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ come

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.3.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(x, 1)$ ,

$(x, 0)$ e l'origine. Poi

$arccot (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(x, 1)$ . Perciò,

$\tan (arccot (x))$ è

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.6

Esegui una moltiplicazione incrociata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica

$y$ per

$1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica

$\sqrt{2 y}$ per

$x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Passaggio 2.7

Riscrivi l'equazione come

$\sqrt{2 y} x = y$ .

$\sqrt{2 y} x = y$

Passaggio 2.8

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2 y}$ come

${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Semplifica

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.1

Applica la regola del prodotto a

$2 y$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.4

Calcola l'esponente.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.5

Moltiplica gli esponenti in

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.5.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.9.2.1.6

Semplifica.

$2 y x^{2} = y^{2}$

Passaggio 2.10

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sottrai

$y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Passaggio 2.10.2

Scomponi

$y$ da

$2 y x^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Scomponi

$y$ da

$2 y x^{2}$ .

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Passaggio 2.10.2.2

Scomponi

$y$ da

$- y^{2}$ .

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Passaggio 2.10.2.3

Scomponi

$y$ da

$y (2 x^{2}) + y (- y)$ .

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Passaggio 2.10.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Passaggio 2.10.4

Imposta

$y$ uguale a

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.10.5

Imposta

$2 x^{2} - y$ uguale a

$0$ e risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.1

Imposta

$2 x^{2} - y$ uguale a

$0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Passaggio 2.10.5.2

Risolvi

$2 x^{2} - y = 0$ per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.2.1

Sottrai

$2 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.10.5.2.2

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- y = - 2 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.2.2.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- y = - 2 x^{2}$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.10.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.10.5.2.2.2.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.10.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.2.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di

$\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Passaggio 2.10.5.2.2.3.2

Riscrivi

$- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ come

$- (- 2 x^{2})$ .

$y = - (- 2 x^{2})$

Passaggio 2.10.5.2.2.3.3

Moltiplica

$- 2$ per

$- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Passaggio 2.10.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$y (2 x^{2} - y) = 0$ vera.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Passaggio 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Passaggio 4

Verifica se

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ è l'inverso di

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ e

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova il dominio di

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.3

Poiché il dominio di

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ non è uguale all'intervallo di

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ , allora

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ non è un inverso di

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 5