Trigonometria Esempi

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

Passaggio 2.3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Moltiplica $\frac{y}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Moltiplica $\frac{y}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.4.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(x, 1)$ , $(x, 0)$ e l'origine. Poi $arccot (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(x, 1)$ . Perciò, $\tan (arccot (x))$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.6

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Semplifica $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.1.1.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1.2.1

Scomponi $\sqrt{3}$ da $y \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Semplifica $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.3.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.7.2.1.4

$\sqrt{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ è l'inverso di $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Passaggio 4.2.3

Frazioni separate.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ in termini di seno e coseno.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Passaggio 4.2.6

Converti da $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ a $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Passaggio 4.2.7

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Passaggio 4.2.8

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4.2.9

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

Passaggio 4.3.3

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ . Perciò, $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ è $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ è l'inverso di $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$