Trigonometria Esempi

$f (x) = \log_{5} (x + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \log_{5} (x + 1)$ come un'equazione.

$y = \log_{5} (x + 1)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \log_{5} (y + 1)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{5} (y + 1) = x$ .

$\log_{5} (y + 1) = x$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\log_{5} (y + 1) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = y + 1$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $y + 1 = 5^{x}$ .

$y + 1 = 5^{x}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5^{x} - 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$ è l'inverso di $f (x) = \log_{5} (x + 1)$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{5} (x + 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = 5^{\log_{5} (x + 1)} - 1$

Passaggio 5.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (5^{x} - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (5^{x} - 1) = \log_{5} ((5^{x} - 1) + 1)$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(5^{x} - 1) + 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (5^{x} - 1) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $5^{x}$ e $0$ .

$f (5^{x} - 1) = \log_{5} (5^{x})$

Passaggio 5.3.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (5^{x} - 1) = x \log_{5} (5)$

Passaggio 5.3.5

Il logaritmo in base $5$ di $5$ è $1$ .

$f (5^{x} - 1) = x \cdot 1$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (5^{x} - 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$ è l'inverso di $f (x) = \log_{5} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$