Trigonometria Esempi

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Passaggio 1

Scrivi $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ come un'equazione.

$y = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 4 \log_{5} (y - 6) + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$ .

$4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$

Passaggio 3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ .

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $\log_{5} (y - 6)$ per $1$ .

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} = y - 6$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ .

$y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $h^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Passaggio 5

Verifica se $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ è l'inverso di $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $h^{- 1} (h (x)) = x$ e $h (h^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $h^{- 1} (h (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$h^{- 1} (h (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1)$ sostituendo il valore di $h$ in $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3.2

Combina i termini opposti in $4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 0}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma $4 \log_{5} (x - 6)$ e $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica $4 \log_{5} (x - 6)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{\log_{5} ({(x - 6)}^{4})}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3.4

Espandi $\log_{5} ({(x - 6)}^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Passaggio 5.2.3.5.2

Dividi $\log_{5} (x - 6)$ per $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\log_{5} (x - 6)} + 6$

Passaggio 5.2.3.6

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x - 6 + 6$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 6 + 6$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 6$ e $6$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $h (h^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$h (h^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6)$ sostituendo il valore di $h^{- 1}$ in $h$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 0) + 1$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ e $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}) + 1$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.4.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ dall'esponente.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \log_{5} (5)) + 1$

Passaggio 5.3.4.2

Il logaritmo in base $5$ di $5$ è $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 1) + 1$

Passaggio 5.3.4.3

Moltiplica $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ per $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 5.3.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 5.3.4.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.3.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 5.3.4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 5.3.4.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.3.4.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Passaggio 5.3.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Passaggio 5.3.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $h^{- 1} (h (x)) = x$ e $h (h^{- 1} (x)) = x$ , allora $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ è l'inverso di $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$