Trigonometria Esempi

sec (arctan (\frac{x}{3}))

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

Passaggio 2

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ .

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

Passaggio 2.2

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

$\arctan (\frac{y}{3})$ dall'interno della secante.

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

Passaggio 2.3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

$y$ da dentro l'arcotangente.

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica

$\tan (arcsec (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ ,

$(1, 0)$ e l'origine. Poi

$arcsec (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ . Perciò,

$\tan (arcsec (x))$ è

$\sqrt{x^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

Passaggio 2.4.1.1.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 2.4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = x$ e

$b = 1$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 2.5

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

$3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 2.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 2.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4

Verifica se

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ è l'inverso di

$f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola

$f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ sostituendo il valore di

$f$ in

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(1, \frac{x}{3})$ ,

$(1, 0)$ e l'origine. Poi

$\arctan (\frac{x}{3})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(1, \frac{x}{3})$ . Perciò,

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ è

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.3.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.3.3

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.3.4

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.5

Riscrivi

$\frac{9 + x^{2}}{9}$ come

${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Scomponi la potenza perfetta

$1^{2}$ su

$9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.5.2

Scomponi la potenza perfetta

$3^{2}$ su

$9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.5.3

Riordina la frazione

$\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.6

Estrai i termini dal radicale.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.7

$\frac{1}{3}$ e

$\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.8

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Passaggio 4.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(1, \frac{x}{3})$ ,

$(1, 0)$ e l'origine. Poi

$\arctan (\frac{x}{3})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(1, \frac{x}{3})$ . Perciò,

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ è

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

Passaggio 4.2.10.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

Passaggio 4.2.10.3

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Passaggio 4.2.10.4

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Passaggio 4.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

Passaggio 4.2.12

Riscrivi

$\frac{9 + x^{2}}{9}$ come

${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.1

Scomponi la potenza perfetta

$1^{2}$ su

$9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

Passaggio 4.2.12.2

Scomponi la potenza perfetta

$3^{2}$ su

$9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

Passaggio 4.2.12.3

Riordina la frazione

$\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

Passaggio 4.2.13

Estrai i termini dal radicale.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

Passaggio 4.2.14

$\frac{1}{3}$ e

$\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

Passaggio 4.2.15

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Passaggio 4.2.16

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.16.1

$- 1$ e

$\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Passaggio 4.2.16.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.2.16.3

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

Passaggio 4.2.16.4

Moltiplica

$\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ per

$\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.16.5

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Passaggio 4.2.17

Espandi

$(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Passaggio 4.2.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Passaggio 4.2.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.1

Combina i termini opposti in

$\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.1.1

Riordina i fattori nei termini di

$\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ e

$3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.1.2

Somma

$- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ e

$3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.1.3

Somma

$\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ e

$0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.2.1

Moltiplica

$\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.2.1.1

Eleva

$\sqrt{9 + x^{2}}$ alla potenza di

$1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.1.2

Eleva

$\sqrt{9 + x^{2}}$ alla potenza di

$1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.1.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.2

Riscrivi

${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ come

$9 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.2.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{9 + x^{2}}$ come

${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Passaggio 4.2.18.2.3

Moltiplica

$3$ per

$- 3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

Passaggio 4.2.18.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.3.1

Combina i termini opposti in

$9 + x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.18.3.1.1

Sottrai

$9$ da

$9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

Passaggio 4.2.18.3.1.2

Somma

$x^{2}$ e

$0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Passaggio 4.2.18.3.2

Riscrivi

$9$ come

$3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.2.19

Riscrivi

$\frac{x^{2}}{3^{2}}$ come

${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2.20

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 4.2.21

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.21.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 4.2.21.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

Passaggio 4.3

Calcola

$f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ sostituendo il valore di

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

Passaggio 4.3.3

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ ,

$(1, 0)$ e l'origine. Poi

$\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ . Perciò,

$\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ è

$\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ come

$(x + 1) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ come

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.3.3.2.5

Semplifica.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.3.4

Espandi

$(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Passaggio 4.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Passaggio 4.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5.1.2

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5.1.3

Riscrivi

$- 1 x$ come

$- x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5.1.4

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma

$- x$ e

$x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

Passaggio 4.3.5.3

Somma

$x^{2}$ e

$0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Passaggio 4.3.6

Sottrai

$1$ da

$1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 4.3.7

Somma

$x^{2}$ e

$0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 4.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ è l'inverso di

$f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$