Trigonometria Esempi

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ come un'equazione.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 \arcsin (y^{2}) = x$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\arcsin (y^{2})$ per $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Passaggio 3.3

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ è l'inverso di $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Passaggio 5.3

Find the domain of the inverse.

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Passaggio 5.3.1

Trova il dominio di $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Passaggio 5.3.1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.1.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Passaggio 5.3.1.2.3

Moltiplica ogni lato per $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Passaggio 5.3.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.4.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Passaggio 5.3.1.2.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x \geq 0 \cdot 7$

Passaggio 5.3.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.4.2.1

Moltiplica $0$ per $7$ .

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.1.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Passaggio 5.3.1.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Passaggio 5.3.1.2.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Passaggio 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 7 (π - 0)$

Passaggio 5.3.1.2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.6.2.2.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = 7 π$

Passaggio 5.3.1.2.7

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{7})$ .

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Passaggio 5.3.1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.3.1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{7}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Passaggio 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{142857}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Passaggio 5.3.1.2.7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 7$

Passaggio 5.3.1.2.7.5

Moltiplica $7$ per $2$ .

$14 π$

Passaggio 5.3.1.2.8

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{7})$ è $14 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $14 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.1.2.9

Consolida le risposte.

$x = 7 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.1.2.10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Passaggio 5.3.1.2.11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 5.3.1.2.11.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 7 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 7 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 5.3.1.2.11.1.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Passaggio 5.3.1.2.11.1.3

Il lato sinistro di $0.28184285$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.3.1.2.11.2

Testa un valore sull'intervallo $7 π < x < 14 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $7 π < x < 14 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 24$

Passaggio 5.3.1.2.11.2.2

Sostituisci $x$ con $24$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Passaggio 5.3.1.2.11.2.3

Il lato sinistro di $- 0.28305585$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3.1.2.11.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < 7 π$ Vero

$7 π < x < 14 π$ Falso

$0 < x < 7 π$ Vero

$7 π < x < 14 π$ Falso

Passaggio 5.3.1.2.12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.2

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

Nessuna soluzione

Passaggio 5.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ non è un inverso di $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 6