Trigonometria Esempi

$f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ come un'equazione.

$y = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 \sin^{3} (4 y + 1)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ .

$2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ .

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\sin^{3} (4 y + 1)$ per $1$ .

$\sin^{3} (4 y + 1) = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (4 y + 1) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.3.5.5

Calcola l'esponente.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$

Passaggio 3.4.5.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Passaggio 3.5

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 y + 1 = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$

Passaggio 3.6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$

Passaggio 3.7

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 (2 \sin^{3} (4 x + 1))}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{8 \sin^{3} (4 x + 1)}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi $8 \sin^{3} (4 x + 1)$ come ${(2 \sin (4 x + 1))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{{(2 \sin (4 x + 1))}^{3}}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $\sin (4 x + 1)$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\sin (4 x + 1))}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) + 1)$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

Passaggio 5.3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

Passaggio 5.3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1)$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 0)$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ e $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}))$

Passaggio 5.3.5

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

Passaggio 5.3.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.7

Riscrivi ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ come $4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 x}$ come ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.7.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.7.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.7.5

Semplifica.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{8})$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 (4)})$

Passaggio 5.3.9.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 \cdot 4})$

Passaggio 5.3.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.10

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.10.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$